1. механизм, дающий возможность расположенным на одной оси колесом, вращающимся деталям двигаться с разной скоростью для совместной работы (спец.).

2. В математике: линейная функция, приближенно равная некоторой функции в окрестности какой-нибудь точки.

в математике, главная линейная часть приращения функции. Если функция y = f (x) одного переменного х имеет при х = х₀ производную, то приращение

Δy = f (x₀ + Δx) - f (x₀)

функции f (x) можно представить в виде

Δy = f' (x₀) Δx + R,

где член R бесконечно мал по сравнению с Δх. Первый член

dy = f' (x₀) Δх

в этом разложении и называется дифференциалом функции f (x) в точке x₀. Из этой формулы видно, что дифференциал dy линейно зависит от приращения независимого переменного Δx, а равенство

Δy = dy + R

показывает, в каком смысле Д. dy является главной частью приращения Δy.

Подробнее о Д. функций одного и нескольких переменных см. Дифференциальное исчисление.

Обобщение понятия дифференциала. Обобщение понятия Д. на вектор-функции, начало которому положили в начале 20 в. французские математики Р. Гато и М. Фреше, позволяет лучше выяснить смысл понятия "дифференциал" для функций нескольких переменных, а в применении к Функционалам приводит к понятию вариации, лежащему в основе вариационного исчисления (См. Вариационное исчисление).

Важную роль в этом обобщении играет понятие линейной функции (линейного отображения). Функция L (x) векторного аргумента х называется линейной, если она непрерывна и удовлетворяет равенству

L (x' + х'') = L (x') + L (x'')

для любых х' и х'' из области определения. Линейная функция n-мерного аргумента х = {x₁,..., x_n} всегда имеет вид

L (x) = a₁x₁ +... + a_nx_n,

где a₁,..., a_n - постоянные. Приращение

ΔL = L (x + h) - L (x)

линейной функции L (x) имеет вид

ΔL = L (h),

т. е. зависит только от векторного приращения h, и притом линейно. Функция f (x) называется дифференцируемой при значении аргумента х, если её приращение Δf = f (x + h) - f (x), рассматриваемое как функция от h, имеет главную линейную часть L (h), т. е. выражается в виде

Δf = L (h) + R (h),

где остаток R (h) при h → 0 бесконечно мал по сравнению с h. Главная линейная часть L (h) приращения Δf и называется дифференциалом df функции f в точке x. При этом в зависимости от того, в каком смысле понимается бесконечная малость R (h) по сравнению с h, различают слабый дифференциал, или дифференциал Гато, и сильный дифференциал, или дифференциал Фреше. Если существует сильный Д., то существует и слабый Д., равный сильному Д. Слабый Д. может существовать и тогда, когда сильный не существует.

В случае f (x) ≡ x из общего определения следует, что df = h, т. е. можно приращение h считать Д. аргумента x и обозначать dx.

Если сделать теперь переменной точку x, в которой определяется Д. df, то он будет функцией двух переменных:

df (x; h).

Далее, считая h = h₁ постоянным, можно найти Д. от дифференциала df (x; h₁) как главную часть приращения

df (x + h₂; h₁) - df (x; h₁),

где h₂ - некоторое второе, не связанное с h₁ приращение x. Получаемый таким образом второй дифференциал d²f = d²f (x; h₁, h₂) является функцией трёх векторных аргументов x, h₁ и h₂, линейной по каждому из двух последних аргументов. Если d²f непрерывно зависит от x, то он симметричен относительно h₁ и h₂:

d²f (x; h₁, h₂) = d²f (x; h₂, h₁).

Аналогично определяется дифференциал dⁿf = dⁿf (x; h₁,..., h_n) любого порядка n.

В вариационном исчислении сам векторный аргумент x является функцией x (t), а дифференциалы df и d²f функционала f [x (t)] называются его первой и второй вариациями и обозначаются δf и δ²f.

Всюду выше речь шла об обобщении понятия Д. на числовые функции векторного аргумента. Существует обобщение понятия Д. и на случай вектор-функций, принимающих значения в банаховых пространствах.

Лит.: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 2 изд., М., 1967; Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 2 изд., М., 1968; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 1, М., 1969; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1, М., 1970; Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966; Дьедонне Ж., Основы современного анализа, пер. с англ., М., 1964.

А. Н. Колмогоров.

Дифференциальный механизм в приводе ведущих колёс автомобиля, трактора или др. транспортных машин. Д. обеспечивает вращение ведущих колёс с разными относительными скоростями при прохождении кривых участков пути.

ДИФФЕРЕНЦИ'АЛ, см. ДИФЕРЕНЦИАЛ
.

устройство, позволяющее получать результирующее движение как сумму или разность составляющих движений. В Д. м. с одной степенью свободы составляющие движения кинематически связаны и осуществляются одним приводом, а результирующее получается как разность этих движений. Д. м. с одной степенью свободы применяют для получения малых точных перемещений или больших сил (например, в приборах, металлорежущих станках и т.п.).

В Д. м. с двумя и более степенями свободы составляющие движения независимы и выполняются каждое своим звеном. Известны разные типы таких Д. м., но наибольшее распространение получил Д. м. с коническими зубчатыми колёсами (обычно называемый просто дифференциалом), применяемый в автомобилях и др. транспортных машинах, механических приводах и т.п. Зависимость между действительными скоростями звеньев Д. м. выражается формулой ω₁ + ω₂ = 2ω_B или n₁ + n₂ = 2n_B, где ω₁, ω₂, ω_B и n₁, n₂ и n_B соответственно угловые скорости и частоты вращения центральных колёс и водила. В вариаторе, работающем по замкнутой схеме, Д. м. позволяет расширить диапазон регулирования и осуществить реверсивное вращение выходного вала. В металлорежущих станках Д. м. применяется с целью упрощения настройки и уменьшения числа необходимых для этого сменных зубчатых колёс. В счётно-решающих машинах Д. м. используется для выполнения математической операции сложения параметров.

Н. Я. Ниберг.

Конический дифференциал 1 и 2 - центральные колёса; 3 - сателлит; 4 - водило; ω₁, ω₂, и ω_B - угловые скорости центральных колёс и водила.